Таким образом, метод ска позволяет сократить размерность исходной выборки посредством создания фрагментарного описания



Скачать 35.26 Kb.
Дата06.06.2019
Размер35.26 Kb.
Название файлагуревич.docx

Таким образом, метод СКА позволяет сократить размерность исходной выборки посредством создания фрагментарного описания. С другой стороны, набор фрагментов, объединенных некоторым общим функциональным описанием, может представлять объект для дальнейшего дробления. Как будет описано ниже, это представляется исключительно полезным при использовании фрактальных методов анализа данных.

Поиск фрагментов выборки осуществляется на некоторой последовательности значений исходного сигнала. В свою очередь, временная последовательность значений изучаемого сигнала характеризуется некоторой формой представления, которая отражает состояние изучаемой системы. Взаимная связь формы сигнала и состояния системы представляется чрезвычайно важной при построении диагностического решения. При изучении различных процессов, протекающих внутри биологического организма, приходится иметь дело с сигналами очень сложной формы.

В таком понимании выборка может быть охарактеризована динамическим образом, отражающим поведение биологической системы на ограниченном интервале времени. Для того чтобы не потерять элементы такого образа при анализе поведения системы, требуется знать правило формирования последовательности исходных значений выборки. Это трудная задача, которая носит название “проблемы Гильберта”.

В математическом отношении формулировка этой проблемы имеет свою историю. В 1900 г. немецкий математик Давид Гильберт в своем докладе на Международном конгрессе математиков в Париже сформулировал 23 нерешенные задачи, которые он считал наиболее важными в математике того времени. Эти задачи получили название “проблемы Гильберта” и оказали огромное влияние на развитие всей математики 20 в. До сих пор не все проблемы Гильберта полностью решены, а многие из них побудили ученых к созданию совершенно новых теорий. Как выяснилось в последние годы, теория нейронных сетей также связана с одной из этих проблем, а именно с тринадцатой.

Тринадцатая проблема Гильберта формулируется так: “... Верно ли, что существует непрерывная функция от трех переменных, которая не может быть представлена в виде композиции непрерывных функций от двух переменных?”

Под композицией функций понимается подстановка одной функции в качестве аргумента другой. Например, функция трех переменных F(x, y, z) = xz + yz может быть представлена в виде композиции функций двух переменных:

F(x, y, z) = S(M(x, z), M(y, z)),
(*)

где M(x, z) = xz, а S(a, b) = a + b.

Как нам сегодня известно, тринадцатая проблема Гильберта была решена в 1957 г. студентом мехмата МГУ, а ныне академиком Владимиром Игоревичем Арнольдом. Он показал, что любая непрерывная функция трех переменных представляется в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Таким образом, гипотеза Гильберта была опровергнута.

В том же 1957 г. математик Андрей Николаевич Колмогоров доказал гораздо более сильную теорему.



Теорема Колмогорова: Любая непрерывная функция от n переменных F(x1, x2, ..., xn) может быть представлена в виде


(**)

где gj и hij — непрерывные функции, причем hij не зависят от функции F.

Эта теорема означает, что для реализации функций многих переменных достаточно операций суммирования и композиции функций одной переменной. Удивительно, что в этом представлении лишь функции gj зависят от представляемой функции F, а функции hij универсальны.

Заметим, что формула (**) очень похожа на формулу (*). Если перевести эту теорему на язык нейронной сети, то она будет звучать так.

Если известны функции hij, то любую непрерывную функцию от n переменных можно точно реализовать с помощью простой нейросети на основе трехслойного персептрона. Для этого достаточно подобрать 2n+1 передаточных функций gj нейронов скрытого слоя.

Эта сеть не будет персептроном в строгом смысле, так как на входах второго слоя к сигналам необходимо применить функции hij, а не просто умножить их на веса.



К сожалению, при всей своей математической красоте теорема Колмогорова малоприменима на практике. Это связано с тем, что функции hij — негладкие и трудно вычислимые; также неясно, каким образом можно подбирать функции gj для данной функции F. Роль этой теоремы состоит в том, что она показала принципиальную возможность реализации сколь угодно сложных зависимостей с помощью относительно простых автоматов типа нейронных сетей.

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©nedocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница