Скалярное произведение векторов, его свойства, примеры вычисления


Скалярным произведением двух векторов



Скачать 257.04 Kb.
страница2/3
Дата10.03.2018
Размер257.04 Kb.
Название файласкалярное произведение.docx
1   2   3
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Это определение эквивалентно первому.



К началу страницы

Скалярное произведение в координатах.


Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид


,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.



Сначала докажем равенства для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы и . Тогда (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем




Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

К началу страницы

Свойства скалярного произведения.



Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

  1. свойство коммутативности скалярного произведения ;

  2. свойство дистрибутивности или ;

  3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

  4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.



Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует


К началу страницы

Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.



Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

  1. ;

  2. ;

  3. или ;

  4. .

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.



Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.



Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .

Ответ:

.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.

Решение.

В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:




Ответ:

.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .

Решение.

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:


Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:




Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.



Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Решение.

. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид


.

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:


Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.



Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .

Решение.

Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .

Вычисляем скалярное произведение .

Ответ:

.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.



Пример.

При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.

Решение.

Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .

Ответ:

.

К началу страницы

Физический смысл скалярного произведения векторов.



В механике можно отметить следующее приложение скалярного произведения векторов.

Известно, что работа A постоянной силы по перемещению тела из точки M в точку N пространства находится как произведение длин векторов , и косинуса угла между ними, то есть, работа равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: .



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


База данных защищена авторским правом ©nedocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница